자연과 피보나치 수열

자연과 피보나치 수열 | 좋은글/좋은음악 2006/04/28 11:05

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피보나치 수열과 자연   산이나 들에 자라나는 나무나 농착물들은 대체로 일정한 간격을 가지고 있다. 3-4m씩 떨어져 자라는 나무들 사이에 수많은 씨앗이 떨어지지만 대부분 싹을 피우지 못하고 설혹 싹을 피우더라도 곧 죽고 만다. 도한 나무들이  7-8m 이상 떨어져 자라는 경우 거의 어김 없이 3-4 m  간격이 되는 곳에 떨어진 씨앗이 먼저 싹을 피우고 제대로 성장한다.  수종에 따라 나무간 최적 간격은 멀어지기도 하고 줄어들기도 한다. 이 때 나무가 잘 자라는 곳은 명당, 못자라는 곳은 나무의 흉지가 된다.   숲이나 들판처럼 생육 조건이 위치에 따라 변동이 심한 곳에서는  생장을 위한 최적 간격이 어느 정도 오차를 가지나, 생장 바탕이 동일한 꽃잎이나 가지, 씨앗의 발생 패턴은 거의 완벽한 피보나치 수열을 이룬다. 해바리기 씨앗이나 솔방울 씨앗의 발생 패턴인 보이는 좌로 도는 나선의수와 우로 도는 나선의 수는 정확히 피보나치 수열을 따르고, 줄기에서 뻗는 가지의 숫자도 피보나치 수열을 따른다. 이는 자연계의 발생 패턴에 대칭성,갈래질과 더불어 강력한 피보나치 수열과 같은 수리적 기하학적 분포를 이루려는 작용이 있다고 할 수 있다. 즉 자연 발생계에서 수리적 위치나 기하학 적 위치에 따라 생성이나 성장에 도움이 되는 위치(위상)와 생성이나 성장을 방해하는 위치가 있다는 것으로 해석할 수 있다. 빛속도나 플랑크상수 카오스의 파이겐바움 수와 같이 피보나치 수열과 황금율도 자연의 상수임이 밝혀진 것이다. 이 모든 상수들은 자연이 무작위적이지 않고 주어진 패턴 다라 변하고 움직여 간다는 것을 의미하는 것으로 하나의 씨앗이나 꽃잎 가지의 싹이 트면 다음 주자가 올 시기와 장소는 대략 주어져 있다고 할 수 있으며, 혹시 벌목이나 사고로  중간의 개체가 손상을 당했을 때 재생되거나 새로운 개체가 발생할 장소와 시간도 대체로 정해져 있다고 할 수 있다. 이는 톱니바퀴가 맛물려 돌아가는 기계적 결정론과는 다른 자연의 현명함과 경제성에서 나타나는 현상으로,  씨앗이나 개체가 가장 효율적으로 시간과 공간을 공유하거나 채워가기 위한 최고의 방법이다. 즉 한 곳에 모든 개체나 에너지가 몰리게 되면 비효율적이므로 모인 개체나 에너지는 그것이 희박한 곳으로 분산되게 하는 힘이 작용한다. 분산 되더라도 바둑판에 일률적으로 돌을 놓듯이 개체(씨앗이나 가지 또는 결정을 이루는 분자)가 무작위적으로 놓아지는 것 역시 비효율적이다. 바둑판 평면을 모두 채운 다음 발생하는 개체는 발생을 위한 질료나 에너지가 무한정 공급되는 것이 아니라 시간 경과에 따라한정된 양이 공급된다는 점을 감안하면 그 질료나 에너지가 도착해야할 위치와 신간을 선정하는데 있어서 어떤 현명한 규칙이 없다면  전체에 바깥의 영향과 조화하는 방향이 아니라 동일한 장소에 2중 3중으로 에너지가 질료가 몰리는 것을 막을 수 없다.       이는 자연 발생적인 시스템이 발생, 성장하며 변해가는 데 특정 패턴이 있음을  보여주는 것이다.   '앞의 두 개 항을 더한 것이 다음 항'인 수의 배열을 '피보나치 수열'이라고 한다. 자연계에 얼굴을 내민 피보나치 수열  아래 그림과 같은 나무 한 그루가 있다. 지금 한창 가지를 뻗고 있는 중이다. 우선 하나의 줄기에서 2개의 가지 A, B로 나누어진다. 다음은 갈라진 A가지에서 2개의 가지 C, D로 갈라지고 B가지 역시 가지치기를 잠시 멈추다가 H, G로 갈라진다. 그리고 앞서 가지를 뻗은 C, D중 C가지를 뻗어 E, F로 발전하고 있지만 D는 한동안 휴식상태로 들어가고 있다. 이런 식으로 나뭇가지 수를 각 세대별로 세다 보면 '1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …'가 되어 피보나치 수열이 된다.   이와 비슷한 예로서 해바라기씨를 들수 있다.꽃이 지고 난 다음 그 자리에는 소용돌이 형태의 씨앗이 다닥다닥 붙어 있는 것을 발견하게 된다. 그 씨앗의 배열은 피보나치 수열과 흡사하다. 해바라기씨는 오른쪽, 왼쪽의 소용돌이가 교차적으로 생성되고 있는데, 씨앗의 수를 세어나가면 34, 55, 89, …,가 된다. 피보나치 수열이 여기에도 등장하고 있는 것이다.   피보나치 수열에 감추어진 아름다움   피보나치 수열이 자연계에 많이 존재해 있다는 사실은 이미 언급한 바 있다. 이처럼 아무런 관계도 없는 듯한 곳에 이와 같은 법칙이 얼굴을 내밀고 있다는 것은 아마 자연계의 미적 감각인지도 모른다.   그런데 피보나치 수열의 경우 '앞의 두 개 항을 더한 것이 다음항이 된다'는 원리를 가지고 있기 때문에 여기에서 항들을 비교해 보면 무엇인간 재미있는 결과를 발견하지 않을까 하는 생각이 든다. 그래서 시험삼아 피보나치 수열의 뒤의 항을 앞의 항으로 나누어 보니 점점 '어느 일정 수치(1.618…)'에 접근해 가는 모습을 알게 되었다. 이 수치야 말로 '황금비'인 것이다. 황금비는 정오각형 등 여러 곳에서 나타난다. 이 분할은 그 옛날 그리스인들로부터 사랑을 받았던 비율이다. 황금비에 대해서 알고 있는 사람도 많겠지만 어쨌든 자연계에 존재하는 현상이 불가사의한 피보나치 수열과 관계가 있다는 것은 매우 신기한 인연이라고   신록의 계절이 왔다. 꽃과 꽃잎 그리고 식물의 잎에서 피보나치 수열을 찾아보자. 이 수열은 식물뿐 아니라 고둥이나 소라의 나선구조에도 나타난다. 그리고 이 수열은 운명적으로 ‘신의 비율’인 황금비를 만들어낸다.